قاعده هوپیتال یا لوپیتال در ریاضیات ، روشی است که با استفاده از آن میتوان حد تابع را، در صورت وجود، در نقطهای که مقدارآن 0/0 "صفر تقسیم بر صفر" یا ∞/∞ "بینهایت تقسیم بر بینهایت" است به دست آورد.
بد نیست بدانیم که قاعده حد مبهم صفر تقسیم بر صفر به قاعده هوپیتال معروف است ولی به غلط قاعده هوپیتال نام گرفته است.در واقع این قاعده از کشفیات یوهان برنولی می باشد. هوپیتال این قانون را در سال 1696 در کتابی منتشر نمود و البته از همکاری برادران برنولی هم قدردانی نموده است. در حالیکه نامه ای بدست آمده است که در آن یوهان برنولی قاعده مذکور را همراه با اثبات آن ارائه نموده بوده است.
حد های مبهم
در حالت حدی مبهم 0/0 یا ∞/∞ ، می توان از قاعده ای به نام قاعده هوپیتال استفاده کرد .
در برخی مواقع در محاسبه حد به مقادیری می رسیم که به آنها مبهم می گویند .حالتهای مبهم حدی موارد زیر هستند :
در حالت حدی مبهم 0/0 یا ∞/∞ می توان از قاعده ای به نام قاعده هوپیتال استفاده کرد .که در زیر این قاعده را به به طور کامل توضیح می دهیم .
تعریف :
اگر f,g دو تابع مشتق پذیر در همسایگی محذوف x=a باشند ، و حد این دو تابع در این نقطه برابر صفر یا بی نهایت باشد
یعنی ،
و
در آن صورت :
البته در صورتیکه بعد از استفاده از هوپیتال مجددا حاصل حد 0/0 شود دوباره از هوپیتال استفاده کرده و مشتق دوم توابع را محاسبه می کنیم .
نکته : قاعده هوپیتال را می توان در دیگر موارد ابهام زیر نیز به کار برد به شرط اینکه به شرایط هوپیتال تبدیل کنیم .
مثلا در حدهای با نوع ابهام 0 × ∞ می توان با کمی تغییر آن را بصورتی تبدیل کرد که بتوانیم با استفاده از قاعده هوپیتال آن را حل کنیم . در زیر چگوگی این عملیات توضیح داده شده است:
اکنون به چند مثال زیر توجه کنید :
مثال 1:
در مثال فوق حاصل حد تابع در ابتدا صفر صفرام شده است که برای رفع ابهام آن از قاعده هوپیتال استفاده کردیم و از توابع صورت و مخرج مشتق گرفتیم .
مثال 2:
در مثال فوق نیز به دلیل حاصل شدن حد صفر صفرام از هوپیتال استفاه کردیم اما به این نکته توجه کنید که در حد sin و tan اگر عبارت جلوی توابع به سمت صفر میل کند می توان sin و tan را حذف کرد و حد عبارت باقی مانده را محاسبه کرد .پس مثال بالا را به روش زیر نیز علاوه بر هوپیتال می توان حل کرد :
به مثال زیر توجه کنید :
دقت کنید در مثال بالا با یک بار مشتق گیری باز هم به نتیجه مبهم صفر صفرم رسیدیم ، پس طبق قاعده هوپیتال باز هم مشتق می گیریم .
باز هم با اینکه برای دومین باز مشتق گرفتیم ولی به نتیجه صفر صفرم رسیدیم پس برای بار سوم مشتق می گیریم.
بلاخره بعد از سه بار هوپیتال به نتیجه رسیدیم .
....................................................................................................................................................................
تمرین : دانش آموزان عزیز برای درک بهتر این مقاله ،تمارین زیر را با استفاده از قاعده هوپیتال به دست آورید :
جالبه نه؟
فریاد نمیزنم